Βέλτιστος έλεγχος σε παραβολικές μερικές διαφορικές εξισώσεις, αριθμητική ανάλυση και εφαρμογές

Abstract

he main object of the thesis is distributed and boundary optimal control in evolutionary - parabolic partial differential equations problems using a discontinuous in time Galerkin finite element method. We examine a Robin type boundary control problem for linear parabolic equations, distributed control in semilinear parabolic problem , and distributed control in evolutionary Stokes problem. We present results and optimal convergence rates in the cases of constrained and unconstrained control, minimal smoothness for the data of the problem and we numerically verify them even for $L^2[0,Τ; L^2(Ω)]$ data. We prove stability, convergence, and we examine first and second order conditions for the quadratic functional. Finally, we present numerical results for a biological problem which consists of two equations, a linear and a semilinear parabolic equation with distributed control. We study first order in time and second order in space linear and semilinear evolutionary problems that often occur in applications to boundary problems for parabolic problems and Stokes systems. We will present semilinear parabolic problems with zero Dirichlet boundary conditions, linear parabolic problems with Robin boundary conditions, Stokes and Fitzugh-Nagumo systems with zero Dirichlet boundary conditions. Particularly, the aim is to focus on specific problems often encountered in practice than to study more general problems in which the same analysis techniques may be applied. This allows someone, in short time, to produce immediate results which are easy to use in applications.

Το κύριο αντικείμενο της διδακτορικής διατριβής είναι ο κατανεμημένος και συνοριακός έλεγχος σε προβλήματα μερικών διαφορικών εξισώσεων εξελικτικού τύπου με τη μέθοδο πεπερασμένων στοιχείων Galerkin. Εξετάζουμε πρόβλημα συνοριακού ελέγχου τύπου Robin για γραμμικές παραβολικές εξισώσεις, κατανεμημένο έλεγχο σε ημιγραμμικό παραβολικό πρόβλημα, καθώς και κατανεμημένο έλεγχο σε εξελικτικό πρόβλημα Stokes. Παρουσιάζουμε αποτελέσματα με ελέγχο με περιορισμούς, με ελάχιστη ομαλότητα στα δεδομένα του προβλήματος και επαληθεύονται αριθμητικά ακόμη και για $L^2[0,Τ; L^2(Ω)]$ δεδομένα, αποδεικνύονται η ευστάθεια, η σύγκλιση, και εξετάζονται συνθήκες πρώτης και δεύτερης τάξης για το τετραγωνικό συναρτησιακό. Τέλος παραθέτουμε αριθμητικά αποτελέσματα για ένα πρόβλημα βιολογίας που αποτελείται από σύστημα δυο εξισώσεων μιας γραμμικής και μιας ημιγραμμικής παραβολικής εξίσωσης με κατανεμημένο έλεγχο.