Development and application of high order numerical methods for compressible plasma flows in complex domains

Abstract

The development and application of the high-order accurate finite element DiscontinuousGalerkin method (DG) for the numerical solution of three-dimensionalcompressible fluid flows, electromagnetic fields, and the flow of fully or partiallyionized gases under the influence of electromagnetic fields is pursued. The DGmethod is used for the spatial discretization of the Euler/Navier-Stokes and thefull Maxwell’s equations, and subsequently, the gas-dynamics and electrodynamicsequations are coupled through the source terms for the solution of plasmaflows. As opposed to the classic magnetohydrodynamic theory (MHD), wherethe displacement current is ignored, the proposed coupling approach allows imposedtime-varying electrical fields in the solution domain and the computationof the induced electrical fields. The discrete coupled system of equations is solvednumerically first for fully ionized gas flows to validate the method and then forpartially ionized gas flows.The unsteady Euler and Navier-Stokes equations are solved for subsonic, transonicand supersonic flows at high Mach numbers, using second and higher-ordersolution approximations. For advancing the solution in time, high-order explicitand diagonally implicit Runge-Kutta (RK) schemes are used. New approacheswell-suited for shock and contact discontinuity capturing in three-dimensionalflows and mixed type meshes have been developed. Elements in the physical spaceare transformed into the standard cubical element of the computational space,where the TV B limiting procedure is performed for all the element types in aunified manner. Better resolution of the flow structures of interest was achievedby using h and padaptive techniques for the local adaptive mesh refinementand increase of solution approximation, respectively. It was found that the use ofthe proposed TV B limiter in conjunction with the adaptive mesh refinement at regionswith solution discontinuities constitutes a quite efficient and highly accurateapproach to solve three-dimensional compressible flows at high Mach numbers. Inthe same spirit a dissipative filter for discontinuity capturing has been developed. Validation of the discretization method and shock-capturing approaches has beencarried out.The full Maxwell’s equations are also solved numerically with the DG method.Three-dimensional divergence-free vector bases were constructed and tested forapproximating the magnetic vector field in order to satisfy the divergence constraintfor the magnetic field. It was verified that the divergence-free bases ensuredivergence-free solution in the interior of the elements whereas the solutionjumps accross the element interfaces cause errors to the divergence-free conditionof the magnetic field that diminish with the order of expansion. Furthermore,the perfectly hyperbolic Maxwell’s equations formulation was employed to ensurepreservation of the constraints for the magnetic and electric field. In addition, theso-called Perfectly Matched Layers (PML), widely used in the finite differences,have been adapted to the DG framework for the representation of the radiationcondition and elimination of reflections at the boundaries of the solution domain.Validation of the method for the electromagnetic field has been carried out.These developments led to the fulfillment of the final aim of this thesis in achievinghigh-order accurate, three-dimensional simulations with the DG method offully or partially ionized gas flows under the influence of electromagnetic fields.It was found that the coupled system including nonlinear and stiff source terms ofthe gas-dynamics/electrodynamics equations must be advanced simultaneouslyin an implicit fashion. Implicit time marching is used for the fully coupled systemto avoid wrong wave shapes and propagation speeds that are obtained when thecoupling source terms are lagged in time or by using splitting iterative schemes.Validation of fully ionized gas flow simulations was carried out, using benchmarkproblems. A two-temperature model for the partially ionized gas flows consistingof three different species (electrons, positive ions and neutral particles) was used.All the required transport properties for such flows were computed by the use ofrelations of statistical mechanics. It was found that the partially ionized gas formulationconverges to the fully ionized gas formulation as the degree of ionizationincreases. Application of the partially ionized gas formulation is shown for controlof supersonic flow shock standoff distance with electromagnetic field.

Αντικείμενο της παρούσας διδακτορικής διατριβής είναι η ανάπτυξη και η εφαρμογή μεθόδων υψηλής τάξης ακρίβειας για την αριθμητική επίλυση των διαφορικών εξισώσεων, που περιγράφουν την ροή, πλήρως ή μερικώς, ιονισμένων συμπιεστών αερίων σε τρισδιάστατες γεωμετρίες, υπό την επίδραση ισχυρών ηλεκτρομαγνητικών πεδίων. Η ασυνεχής μέθοδος Galerkin (DG) πεπερασμένων στοιχείων, εφαρμόζεται για την χωρική διακριτοποίηση των εξισώσεων ροής (Euler/Navier-Stokes equations) και των πλήρων εξισώσεων ηλεκτρομαγνητικού πεδίου (Maxwell’s equations). Σύζευξη των παραπάνω εξισώσεων πραγματοποιείται χωρίς να εφαρμόζονται απλουστεύσεις, όπως η περίπτωση των αμελητέων επαγόμενων ηλεκτρικών ρευμάτων, που υιοθετεί η κλασσική μαγνητο-υδροδυναμική θεωρία (MHD) και επιλύονται αριθμητικά ροές πλήρως ή μερικώς, ιονισμένων αερίων υπό την επήρεια μεταβαλλόμενων μαγνητικών και ηλεκτρικών πεδίων.Για την επίλυση των χρονικά μεταβαλλόμενων ροϊκών και ηλεκτρομαγνητικών πεδίων, εφαρμόστηκαν υψηλής τάξης ρητά (explicit) και πεπλεγμένα (implicit) RungeKutta(RK), χρονικά, αριθμητικά σχήματα. Τα τελευταία έδωσαν την δυνατότητα χρησιμοποίησης μεγάλων χρονικών βημάτων, με αποτέλεσμα την μείωση του συνολικού χρόνου επίλυσης. Χρησιμοποιώντας δεύτερης και μεγαλύτερης τάξης προσεγγίσεις,επιλύθηκαν οι Euler και Navier-Stokes εξισώσεις για υποηχητικές, διηχητικές και υ-περηχητικές ροές σε πολύ υψηλές ταχύτητες. Σε υπερηχητικές ή διηχητικές ταχύτητες η συμπιεστή ροή παρουσιάζει έντονες ασυνέχειες, όπως είναι τα κρουστικά κύματα και οι ασυνέχειες επαφής. Για την αριθμητική επίλυση των ασυνεχειών αυτών αναπτύχθηκε καινούργια τεχνική υπολογισμού ασυνεχειών (T V B Limiter), που εφαρμόζεται με έναν ενιαίο και καθολικό τρόπο σε όλους του τύπους των τρισδιάστατων πεπερασμένων στοιχείων (εξάεδρα, πρίσματα, τετράεδρα και πυραμίδες). Ο κανονικός υπολογιστικός χώρος (Computational space) χρησιμοποιείται για πρώτη φορά στην εφαρμογή της τεχνικής υπολογισμού ασυνεχειών σε τρείς διαστάσεις. Κάθε τύπος στοιχείου μετασχηματίζεται από τον φυσικό (x,y,z) στον κανονικό υπολογιστικό χώρο (1,2,3),όπου εφαρμόζεται η τεχνική αυτή και εκτελούνται όλες οι αριθμητικές πράξεις (ολο-κλήρωση, παραγώγιση κτλ.) που απαιτούνται για την επίλυση. Υψηλής ακρίβειας προσομοιώσεις ροών σε πολύπλοκες γεωμετρίες και μεγάλα πραγματικά προβλήματα,επιτεύχθηκαν με τη χρήση της ασυνεχούς μεθόδου Galerkin (κυρίως δεύτερης αλλά και τρίτης ή τέταρτης τάξης ακρίβειας) και κατάλληλων μη δομημένων αριθμητικών πλεγμάτων (τετράεδρα, πρίσματα), καθώς επίσης και υβριδικά πλέγματα (δομημένα εξαεδρικά πλέγματα κοντά σε τοιχώματα και αδόμητα τετραεδρικά ή πρισματικά σε περιοχές μη μεγάλου ενδιαφέροντος). Τέλος, τα πλεονεκτήματα της εφαρμογής της δυναμικής πύκνωσης πλέγματος (hadaptivity)και της χρήσης μεταβλητής τάξης ακρίβειας(padaptivity)σε περιοχές με ασυνέχειες ή μεγάλες μεταβολές της λύσης, εξετάστηκαν και εφαρμόστηκαν σε πολλές προσομοιώσεις. Επιπλέον, δείχτηκε ότι η χρήση του προτεινόμενου T V B Limiter σε συνδυασμό με την δυναμική πύκνωση πλέγματος σε τρισδιάστατα προβλήματα μειώνει το υπολογιστικό κόστος επίλυσης και αυξάνει την ανάλυση της λύσης, συγκρινόμενη με άλλες μεθόδους επίλυσης ασυνεχειών, που εμφανίζονται στη βιβλιογραφία. Επιπλέον, αναπτύχθηκε και εφαρμόστηκε μια τεχνική που λειτουργεί ως φίλτρο, εισάγωντας στη αριθμητική λύση την απαραίτητη διάχυση προκειμένου να επιλυθούν οι ασυνέχειες που παρουσιάζονται στις συμπιεστές ροές.Για την επικύρωση και πιστοποίηση των προαναφερθέντων αριθμητικών σχημάτων και τεχνικών, πραγματοποιήθηκε η επίλυση ενός σημαντικού αριθμού δοκιμαστικών προ-βλημάτων συμπιεστής ροής.Για την επίλυση των επαγόμενων ηλεκτρομαγνητικών πεδίων σε ροές ιονισμένων α-ερίων, οι πλήρεις εξισώσεις Maxwell χρησιμοποιήθηκαν και διακριτοποιήθηκαν με την ασυνεχή μέθοδο Galerkin. ΄Ενα απο τα σημαντικά χαρακτηριστικά αυτής της προσέγγισης είναι ότι για τον υπολογισμό των ηλεκτρομαγνητικών πεδίων λαμβάνεται υπόψη το ρεύμα μετατόπισης (displacement current). ΄Ετσι καθίσταται δυνατή η επιβολή καιφυσικά η επίδραση στη ροή, ισχυρά μεταβαλλόμενων ηλεκτρικών πεδίων που έως τώρα στην κλασσική μαγνητουδροδυναμική θεωρία (MHD) δεν συμπεριλαμβανόντουσαν.Επίσης, για την επίλυση των εξισώσεων ηλεκτρομαγνητικού πεδίου, αναπτύχθηκαν,για πρώτη φορά, τρισδιάστατες διανυσματικές βάσεις (συναρτήσεις μορφής) για την αναπαράσταση του διανύσματος του μαγνητικού πεδίου (Β), οι οποίες μηδενίζουν την απόκλιση του διανυσματικού μαγνητικού πεδίου στο εσωτερικό των στοιχείων. ΄Εχοντας τον ίδιο σκοπό, δηλαδή την εκμηδένιση των αποκλίσεων του μαγνητικού αλλά και του ηλεκτρικού πεδίου, ειδικά σε περιπτώσεις συγκέντρωσης ηλεκτρικών φορτίων, η μετατροπή των ελλειπτικών εξισώσεων της απόκλισης του μαγνητικού και ηλεκτρικού πεδίου σε καθαρά υπερβολικές εξισώσεις μέσω πρόσθετων χρονικών όρων, οδηγεί στην δημιουργία και επίλυση των γνωστών ως perfectly hyperbolic Maxwell εξισώσεων.Τέλος, για την αναπαράσταση της συνθήκης εξόδου κυμάτων στα όρια των υπολογιστικών χωρίων και για να αποφευχθούν ανακλάσεις, η τεχνική των Perfectly MatchedLayers (PML) υλοποιήθηκε και προσαρμόστηκε στη μέθοδο των πεπερασμένων στοιχείων.΄Εχοντας ως τελικό σκοπό την προσομοίωση ροών πλήρως ή μερικώς ιονισμένων αερίων (πλάσμα), μέσα σε ηλεκτρομαγνητικά πεδία, απαιτήθηκε η σύζευξη (coupling)των εξισώσεων ροής (Navier-Stokes equations) και των εξισώσεων ηλεκτρομαγνητικού πεδίου (Maxwell’s equations). Στην παρούσα διατριβή η σύζευξη των εξισώσεων επιτεύχθηκε με προσθήκη της ηλεκτρομαγνητικής δύναμης (Lorentz) και του έργου της, ως όροι πηγής, στις εξισώσεις διατήρησης της ορμής και της ενέργειας, αντίστοιχα.Με το ίδιο τρόπο, οι εξισώσεις του ηλεκτρομαγνητικού πεδίου δέχονται την επίδραση από την ροή, μέσω του ολικού ρεύματος. Η συγκεκριμένη προσέγγιση της σύζευξης,σε αντίθεση με την σύζευξη της κλασσικής μαγνητουδροδυναμικής θεωρίας (MHD),προσφέρει την δυνατότητα επίλυσης προβλημάτων, στα οποία επιβάλλονται ισχυρά μεταβαλλόμενα ηλεκτρικά πεδία καθώς επίσης επιτρέπει να λαμβάνονται υπόψη τα επαγόμενα ηλεκτρικά πεδία που δημιουργούνται. Η υψηλής τάξης ασυνεχής μέθοδος Galerkinπου χρησιμοποιήθηκε για την χωρική διακριτοποίηση των συζευγμένων εξισώσεων σεσυνδυασμό με τη χρήση πεπλεγμένων σχημάτων για την προώθηση τους στο χρόνο,καθιστά εφικτή την υψηλής ανάλυσης επίλυση συμπιεστών ροών ιονισμένων αεριών υπό την επήρεια ηλεκτρομαγνητικών πεδίων· προβλήματα τα οποία ενέχουν δυσκολίες στην αριθμητική επίλυση λόγω του ότι παρουσιάζουν μεγάλες διαφορές στις χαρακτηριστικές ταχύτητες μετάδοσης της πληροφορίας (ταχύτητα ήχου και φωτός). Η προώθηση της λύσης, στο χρόνο, γίνεται με την ταυτόχρονη επίλυση των εξισώσεων Navier-Stokesκαι Maxwell, ως ένα ενιαίο σύστημα. Αξίζει να σημειωθεί ότι διαπιστώθηκε ότι, η χωριστή επίλυση αφενός των Navier-Stokes και αφετέρου των Maxwell εξισώσεων με χρήση των ηλεκτρομαγνητικών και ροϊκών μεγεθών, αντίστοιχα, από την προηγού-μενη χρονική στιγμή, καταλήγει, σε λανθασμένες ταχύτητες μαγνητουδροδυναμικώνκυμάτων και παραμορφωμένες ροϊκές δομές. Επιπλέον, για την προσομοίωση ροών μερικώς ιονισμένων αερίων, τα οποία θεωρήθηκε ότι αποτελούνται απο ηλεκτρόνια,θετικά ιόντα και ουδέτερα σωματίδια, χρησιμοποιήθηκε μοντέλο δύο θερμοκρασίων (ηλεκτρονίων-βαρέων σωματιδίων). Ο υπολογισμός, κυρίως των ταχυτήτων διάχυσης των συστατικών του αέριου μίγματος καθώς επίσης και μερικών θερμοδυναμικών ι-διοτήτων του μίγματος έγινε με χρήση της στατιστικής μηχανικής. Επικύρωση της μεθόδου DG για την αριθμητική επίλυση ροών ιονισμένων αερίων πραγματοποιήθηκεμε μια σειρά δοκιμαστικών προβλημάτων. Διαπιστώθηκε ότι, η αριθμητική λύση, χρησιμοποιώντας την προσέγγιση των μερικώς ιονισμένων αερίων, συγκλίνει στην MHDλύση πλήρως ιονισμένου αερίου με την αύξηση του βαθμού ιονισμού. Η μέθοδος εφαρμόστηκε για τον έλεγχο ωστικού κύματος με ηλεκτρομαγνητικό πεδίο σε ροή μερικώς ιονισμένου αερίου σε υψηλή ταχύτητα.