ΕΚΘΕΤΙΚΗ ΔΙΧΟΤΟΜΙΑ - ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΤΙΚΗ ΔΙΑΧΩΡΙΣΙΜΟΤΗΤΑ ΚΑΙ ΔΟΜΙΚΗ ΕΥΣΤΑΘΕΙΑ ΓΡΑΜΜΙΚΩΝ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ ΔΙΑΦΟΡΩΝ

Abstract

IN THIS DISSERTATION WE STUDY THE QUALITATIVE THEORY OF LINEAR DIFFERNCE EQUATIONS. IN THE FIRST CHAPTER WE STUDY THE EXPONENTIAL DICHOTOMY OF LINEAR DIFFERENCE EQUATIONS: WE PROVE THE ROUGHNESS OF EXPONENTIAL DICHOTOMY AND WE FINDNECESSARY CONDITIONS FOR THE EXISTENCE OF EXPONENTIAL DICHOTOMY FOR LINEAR DIFFERENCE EQUATIONS. IN THE SECOND CHAPTER WE FIND NECESSARY AND SUFFICIENT CONDITIONS FOR THE EXISTENCE OF MULTIPLICATIVE SEPARATION FOR DIFFERENT EQUATIONS. WE ALSO PROVE THAT THE INTERIOR OF THE DIAGONALIZABLE SYSTEMS IS EQUAL TO THE SET OF THE SYSTEMS WHICH HAVE A MULTIPLICATIVE SEPARATION. FINALLY WEPROVE THAT IF A DISCRETE SYSTEM IS STRUCTURALLY STABLE AND MULTIPLICATIVE SEPARATED THEN IT HAS AN EXPONENTIAL DICHOTOMY.

ΣΚΟΠΟΣ ΤΗΣ ΔΙΑΤΡΙΒΗΣ ΑΥΤΗΣ ΕΙΝΑΙ Η ΠΟΙΟΤΙΚΗ ΜΕΛΕΤΗ ΤΩΝ ΓΡΑΜΜΙΚΩΝ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ ΔΙΑΦΟΡΩΝ. ΣΤΟ ΠΡΩΤΟ ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΕΞΕΤΑΖΟΥΜΕ ΤΗΝ ΕΚΘΕΤΙΚΗ ΔΙΧΟΤΟΜΙΑ ΤΩΝ ΓΡΑΜΜΙΚΩΝ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ ΔΙΑΦΟΡΩΝ. ΠΙΟ ΣΥΓΚΕΚΡΙΜΕΝΑ ΑΠΟΔΕΙΚΝΥΟΥΜΕ ΤΗΝ ΑΔΡΟΤΗΤΑ ΤΗΣ ΔΙΧΟΤΟΜΙΑΣ, ΔΗΛΑΔΗ ΒΡΙΣΚΟΥΜΕ ΚΑΤΑΛΛΗΛΕΣ "ΜΙΚΡΕΣ ΔΙΑΤΑΞΕΙΣ" ΠΟΥ ΑΦΗΝΟΥΝ ΑΝΑΛΛΟΙΩΤΗ ΤΗ ΔΟΜΗ ΤΟΥ ΣΥΣΤΗΜΑΤΟΣ, ΟΤΑΝ ΑΥΤΟ ΕΧΕΙ ΕΚΘΕΤΙΚΗ ΔΙΧΟΤΟΜΙΑ. ΕΠΙΣΗΣ ΔΙΝΟΥΜΕ ΟΡΙΣΜΕΝΕΣ ΙΚΑΝΕΣ ΚΑΙ ΑΝΑΓΚΑΙΕΣ ΣΥΝΘΗΚΕΣ ΓΙΑ ΥΠΑΡΞΗ ΕΚΘΕΤΙΚΗΣ ΔΙΧΟΤΟΜΙΑΣ. ΣΤΟ ΔΕΥΤΕΡΟ ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΒΡΙΣΚΟΥΜΑΙ ΙΚΑΝΕΣ ΚΑΙ ΑΝΑΓΚΑΙΕΣ ΣΥΝΘΗΚΕΣ ΓΙΑ ΥΠΑΡΞΗ ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΤΙΚΗΣ ΔΙΑΧΩΡΙΣΙΜΟΤΗΤΑΣ ΣΕ ΓΡΑΜΜΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΔΙΑΦΟΡΩΝ. ΕΠΙΣΗΣ ΑΠΟΔΕΙΚΝΥΟΥΜΕ ΟΤΙ ΤΟ ΕΣΩΤΕΡΙΚΟ ΤΟΥ ΣΥΝΟΛΟΥ ΤΩΝ ΔΙΑΓΩΝΙΟΠΟΙΗΣΙΜΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ ΤΑΥΤΙΖΕΤΑΙ ΜΕ ΤΟ ΣΥΝΟΛΟΤΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ ΠΟΥ ΕΧΟΥΝ ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΤΙΚΗ ΔΙΑΧΩΡΙΣΙΜΟΤΗΤΑ. ΤΕΛΟΣ ΑΠΟΔΕΙΚΝΥΟΥΜΕ ΟΤΙ ΕΑΝ ΕΝΑ ΓΡΑΜΜΙΚΟ ΔΙΑΚΕΚΡΙΜΕΝΟ ΣΥΣΤΗΜΑ ΕΙΝΑΙ ΔΟΜΙΚΑ ΕΥΣΤΑΘΕΣ ΚΑΙ ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΤΙΚΑ ΔΙΑΧΩΡΙΣΙΜΟ, ΤΟΤΕ ΕΧΕΙ ΕΚΘΕΤΙΚΗ ΔΙΧΟΤΟΜΙΑ.