Μοντελοποίηση μη-στάσιμων ταλαντώσεων μέσω συναρτησιακών μοντέλων TARMA: μέθοδοι εκτίμησης και ιδιότητες αυτών

Abstract

The thesis studies the problem of non stationary random vibration modeling and analysis based on available measurements of the vibration signal via Functional Series Time dependent AutoRegressive/AutoRegressive Moving Average (FS TAR/TARMA) models. The aims of the thesis include the assessment of the applicability of FS TAR/TARMA methods for the modeling and analysis of non stationary random vibration as well as their comparison with alternative time domain parametric methods. In addition significant attention has been paid to the FS TAR/TARMA estimation problem and to the theoretical asymptotic analysis of the estimators. A critical overview and comparison of time domain parametric non stationary random vibration modeling and analysis methods is firstly presented where the high potential of FS TAR/TARMA methods is demonstrated. In the following a number of issues concerning the FS TAR/TARMA model (parameter) estimation and model structure selection are considered. The effectiveness of the FS TARMA methods for non stationary random vibration modeling and analysis is experimentally demonstrated through their application for the recovery of the dynamical characteristics of a time varying bridge like laboratory structure. In the sequel the thesis focuses on the asymptotic analysis of general (that is not necessarily periodically evolving) FS TAR/TARMA estimators. In particular the Weighted Least Squares (WLS) and Maximum Likelihood (ML) estimators are both investigated while a Multi Stage (MS) estimator that approximates the ML estimator at reduced complexity is developed. The consistency of the considered estimators is established and their asymptotic distribution is extracted. Furthermore a consistent estimator of the asymptotic covariance matrix is formulated and an FS TAR/TARMA model validation method is proposed. The validity of the theoretical asymptotic analysis results is assessed through several Monte Carlo studies.

Το πρόβλημα που αντιμετωπίζει η διατριβή άφορα στη μοντελοποίηση μη στάσιμων τυχαίων ταλαντώσεων επί τη βάσει μετρήσεων του σήματος της ταλάντωσης μέσω μοντέλων FS TAR/TARMA. Οι στόχοι της διατριβής περιλαμβάνουν την αποτίμηση της εφαρμοσιμότητας των μεθόδων FS TAR/TARMA για την μοντελοποίηση και ανάλυση της ταλάντωσης χρονικά μεταβαλλόμενων κατασκευών καθώς και τη σύγκρισή τους με εναλλακτικές παραμετρικές μεθόδους του πεδίου του χρόνου. Ιδιαίτερη βαρύτητα δίνεται και στην αντιμετώπιση θεμάτων που σχετίζονται με την εκτίμηση μοντέλων FS TAR/TARMA καθώς και στην θεωρητική ασυμπτωτική ανάλυση των ιδιοτήτων των εκτιμητριών που χρησιμοποιούνται. Η διατριβή αρχικά παρουσιάζει μια συγκριτική ανασκόπηση της βιβλιογραφίας στο θέμα της μοντελοποίησης μη στάσιμων ταλαντώσεων μέσω παραμετρικών μεθόδων του πεδίου του χρόνου η οποία και επιδεικνύει τα πλεονεκτήματα των μεθόδων FS TAR/TARMA. Στη συνέχεια αντιμετωπίζεται μια σειρά προβλημάτων που εμφανίζονται κατά την εκτίμηση (των παραμέτρων) και την επιλογή της δομής του μοντέλου. Η αποτελεσματικότητα των μεθόδων FS TAR/TARMA για την μοντελοποίηση και ανάλυση μη στάσιμων ταλαντώσεων επιδεικνύεται και πειραματικά μέσω εφαρμογής στην οποία πραγματοποιείται επιτυχής εξαγωγή των δυναμικών χαρακτηριστικών μιας εργαστηριακής χρονικά μεταβαλλόμενης κατασκευής. Στη συνέχεια η διατριβή εστιάζει στην αναζήτηση ακριβέστερων εκτιμητριών καθώς και στην ασυμπτωτική ανάλυση των ιδιοτήτων των εκτιμητριών «γενικών» (όχι αναγκαστικά περιοδικά μεταβαλλόμενων) μοντέλων FS TAR/TARMA. Συγκεκριμένα εξετάζονται οι περιπτώσεις των εκτιμητριών σταθμισμένων ελάχιστων τετράγωνων [Weighted Least Squares (WLS)] μέγιστης πιθανοφάνειας [Maximum Likelihood (ML)] καθώς και μια εκτιμήτρια πολλαπλών σταδίων [Multi Stage (MS)] η οποία αναπτύσσεται στην παρούσα διατριβή και είναι ασυμπτωτικά ισοδύναμη με την εκτιμήτρια ML ενώ ταυτόχρονα χαρακτηρίζεται από μειωμένη υπολογιστική πολυπλοκότητα. Στη διατριβή αποδεικνύεται η συνέπεια (consistency) των εκτιμητριών αυτών και εξάγεται η ασυμπτωτική κατανομή (asymptotic distribution) τους. Παράλληλα αναπτύσσεται μια συνεπής εκτιμήτρια του ασυμπτωτικού πίνακα συνδιασποράς και μια μέθοδος για τον έλεγχο εγκυρότητας των μοντέλων FS TAR/TARMA. Η ορθότητα των αποτελεσμάτων της ασυμπτωτικής ανάλυσης επιβεβαιώνεται μέσω μελετών Monte Carlo.