Η φασματική ανάλυσις του τανυστού ενδόσεως του ανισότροπου ελαστικού μέσου

Abstract

Chapter 1: Description of Anisotropic Elasticity. In the present chapter, by identifying with linear operators the symmetric fourth-rank tensors that act on the six-dimensional space of the symmetric second- rank tensors, the compliance and stiffness tensors are shown to be isomorphic with 6x6 matrices. It is, subsequently, inferred, in view of the hermitian nature of the elasticity tensors, that their eigenvalues are real, their eigentensors are orthogonal, and, furthermore, their eigenvalues remain invariant under orthogonal co-ordinate transformations. It is, therefore, asserted that the eigenvalues and eigentensors act as autonomous parameters, accountable for the co-ordinate invariant specification of the elastic properties and hence of the anisotropy of the generally anisotropic elastic body. Most importantly, the laws are derived, governing the anisotropy variation of an arbitrary non-linear elastic medium, based on the variation of the eigenvalues and eigentensors of the compliance tensor. Chapter 2: Cubic Symmetry. The spectral decomposition of the compliance fourth-rank tensor is undertaken for the cubic elastic solid, and its three characteristic values of multiplicity two, three and one as well as its idempotent fourth-rank tensors are established explicitly. Three energy orthogonal stress states are determined for the cubic medium, referring to pure shear, simple shear and hydrostatic loading, respectively. The elastic strain energy density components, associated with these eigenstates, are related with the well-known distortional and dilatational types of strain energy, identified exclusively in isotropic bodies. Then, the spectral expansion of the isotropic compliance tensor is examined and the occurring similarities with cubic symmetry are discussed. Numerical examples of chemical elements and compounds of the cubic crystal system are disclosed. Chapter 3: Transversely Isotropic Plates. The spectral decomposition theory of the elasticity tensors is extended, in this chapter, to plane-stress problems, thus, offering a possibility for characterising the elastic properties of anisotropic media under plane-stress conditions. It is shown that the three eigenvalues of multiplicity one, together with a dimensionless parameter, called the plane eigenangle, constitute the essential parameters for an invariant description of the elastic behaviour of anisotropic plates. Both the variational limits of the eigenangle and the restrictive bounds to the values of the Poisson’s ratios are considered. Moreover, it is deduced that the plane eigenangle may be employed as a monoparametric indication of the anisotropy of the material. A study of the bounds, imposed by thermodynamical constraints on the values of the elastic constants, is presented thereafter. Besides, a theoretical definition of the longitudinal shear modulus is introduced, via the remaining elastic constants, as a means of checking the validity of its experimentally measured value. It is concluded that the plane eigenangle makes up an index not only of the anisotropy but also of the toughness of transversely isotropic plates. Further, the elastic energy density, stored in thin plates of a transversely isotropic material, is decomposed into distinct non-interacting elements. This is succeeded by utilising the geometric features of the elliptic paraboloid failure surface, which has been previously shown to constitute an ideal criterion for yielding or failure of anisotropic media, and by focusing our attention on transversely isotropic plates. Next, by applying the spectral decomposition principle on the compliance fourth-rank tensor for transversely isotropic plates, it is found that two energy orthogonal stress eigenstates induce volume changes and shape distortions to the plate, while the third refers to a pure distortional energy component. Both decompositions of the elastic strain energy, realised in this chapter, are energy equivalent and advantageous, exhibiting close resemblance with the splitting of the elastic strain energy density for isotropic materials into shape distortional and dilatational constituents. […]

Κεφάλαιο 1ο: Περιγραφή της Ανισοτρόπου Ελαστικότητος. Στο συγκεκριμένο κεφάλαιο, θεωρώντες τους συμμετρικούς τανυστές τετάρτης-τάξεως ως γραμμικούς τελεστές, οι οποίοι δρουν στον εξαδιάστατο χώρο των συμμετρικών τανυστών δευτέρας-τάξεως, αποδεικνύεται ότι οι τανυστές της ενδόσεως και της δυσκαμψίας είναι ισομορφικοί με τα 6x6 μητρώα. Ακολούθως, συνάγεται, λόγω της ερμητιανούς φύσεως των τανυστών αυτών, ότι αφ’ ενός οι ιδιοτιμές των είναι πραγματικοί αριθμοί, αφ’ ετέρου οι ιδιοτανυστές των είναι ορθογώνιοι, και, επί προσθέτως, οι ιδιοτιμές των παραμένουν αναλλοίωτοι υπό ορθογωνίους μετασχηματισμούς των συντεταγμένων. Συμπεραίνεται, επομένως, ότι οι ιδιοτιμές και οι ιδιοτανυστές αποτελούν αυτονόμους παραμέτρους, υπευθύνους για τον αναλλοίωτο προσδιορισμό των ελαστικών ιδιοτήτων και, άρα, της ανισοτροπίας του γενικώς ανισοτρόπου ελαστικού σώματος. Τελικώς και μάλιστα σημαντικώς, προκύπτουν οι νόμοι, οι οποίοι διέπουν την μεταβολή της ανισοτροπίας ενός εν γένει μη-γραμμικού ελαστικού μέσου, βάσει της μεταβολής των ιδιοτιμών και των ιδιοτανυστών του τανυστού της ενδόσεως. Κεφάλαιο 2ο: Κυβική Συμμετρία. Μελετάται η φασματική ανάλυσις του τανυστού τετάρτης-τάξεως της ενδόσεως του κυβικού ελαστικού στερεού, και ευρίσκονται αναλυτικώς οι τρεις χαρακτηριστικές του τιμές, διπλής, τριπλής και μονής πολλαπλότητος, καθώς και οι τρεις τετάρτης-τάξεως ιδιοτανυστές του. Προσδιορίζονται οι τρεις ενεργειακώς ορθογώνιοι εντατικές καταστάσεις του κυβικού μέσου, οι οποίες αποτελούν καθαρά διάτμηση, απλή διάτμηση και υδροστατική φόρτιση, αντιστοίχως. Ύστερον, σχετίζονται οι, αντιστοιχούσες προς τους ιδιοτανυστές αυτούς, συνιστώσες της πυκνότητος ελαστικής ενεργείας παραμορφώσεων με τις ευρέως γνωστές στροφικές και διογκωτικές μορφές ενεργείας παραμορφώσεων, οι οποίες συναντώνται αποκλειστικώς στα ισότροπα σώματα. Κατόπιν, εξετάζεται η φασματική ανάπτυξις του ισοτρόπου τανυστού της ενδόσεως και συζητώνται οι υφιστάμενες ομοιότητες με την κυβική συμμετρία. Μετά ταύτα, παρουσιάζεται πληθώρα αριθμητικών παραδειγμάτων χημικών στοιχείων και ενώσεων του κυβικού κρυσταλλικού συστήματος. Κεφάλαιο 3ο: Εγκαρσίως Ισότροπες Πλάκες. Η θεωρία της φασματικής αναλύσεως των τανυστών της ελαστικότητος επεκτείνεται, στο κεφάλαιο αυτό, σ’ επίπεδα προβλήματα τάσεων, παρέχοντας, κατ’ αυτόν τον τρόπο, την δυνατότητα χαρακτηρισμού των ελαστικών ιδιοτήτων των ανισοτρόπων μέσων υπό συνθήκες επιπέδων εντάσεων. Αποδεικνύεται, λοιπόν, ότι οι τρεις ιδιοτιμές μονής πολλαπλότητος, μετά μίας αδιαστάτου παραμέτρου, η οποία ονομάζεται επίπεδος ιδιογωνία, συνιστούν τις αναγκαίες παραμέτρους διά την αναλλοίωτο περιγραφή της ελαστικής συμπεριφοράς των ανισοτρόπων πλακών. Εξετάζονται τόσο τα όρια μεταβολής της ιδιογωνίας, όσο και τα αυστηρώς καθορισμένα όρια στις τιμές των λόγων του Poisson. Επίσης, αποδεικνύεται ότι η επίπεδος ιδιογωνία δύναται να χρησιμοποιηθεί ως μια μονοπαραμετρική ένδειξις της ανισοτροπίας του υλικού. Εν συνεχεία, μελετώνται τα, επιβαλλόμενα υπό θερμοδυναμικών περιορισμών, όρια στις τιμές των ελαστικών σταθερών. Εξ άλλου, το επίμηκες μέτρο διατμήσεως προσδιορίζεται θεωρητικώς, συναρτήσει των λοιπών ελαστικών σταθερών, προσφέροντας επομένως έναν τρόπο επαληθεύσεως της εγκυρότητος της πειραματικώς ευρεθείσης τιμής του. Τελικώς, δεικνύεται ότι η επίπεδος ιδιογωνία αποτελεί έναν δείκτη όχι μόνον της ανισοτροπίας αλλά και της στερρότητος θραύσεως των εγκαρσίως ισοτρόπων πλακών. Περαιτέρω, η πυκνότης ελαστικής ενεργείας, η οποία αποθηκεύεται σε λεπτές πλάκες εγκαρσίως ισοτρόπων υλικών, διαιρείται σε διακριτές και ανεξαρτήτους μεταξύ των ποσότητες. Αυτό επιτυγχάνεται βασιζόμενοι στα γεωμετρικά χαρακτηριστικά της ελλειπτικής παραβολοειδούς επιφάνειας αστοχίας, η οποία έχει αποδειχθεί κατά το παρελθόν ότι αποτελεί ένα ιδανικό κριτήριο περιγραφής της διαρροής ή της αστοχίας των ανισοτρόπων μέσων, και επικεντρώνοντας το ενδιαφέρον μας σε εγκαρσίως ισοτρόπους πλάκες. Ακολούθως, εφαρμόζοντες την θεωρία της φασματικής αναλύσεως στον τανυστή τετάρτης-τάξεως της ενδόσεως εγκαρσίως ισοτρόπων πλακών, προκύπτει ότι οι δύο ενεργειακώς ορθογώνιοι ιδιοτανυστές των τάσεων επιφέρουν αλλοιώσεις του όγκου και του σχήματος της πλακός, ενώ ο τρίτος αντιστοιχεί αποκλειστικώς σε συνιστώσα ατροφικής ενεργείας. Αμφότερες οι αναλύσεις της ελαστικής ενεργείας παραμορφώσεων, οι οποίες προτείνονται στο κεφάλαιο αυτό, είναι ενεργειακώς ισοδύναμες και προνομιακές, επιδεικνύοντας στενή συσχέτιση με την ανάλυση της πυκνότητος ελαστικής ενεργείας παραμορφώσεων των ισοτρόπων υλικών σε στροφικές και διογκωτικές συνιστώσες. […]