Numerical methods for evolutionary differential equations that maintain the positivity of the solution

Abstract

We consider the Keller-Segel model of chemotaxis on a bounded domain $\Omega\subset\mathbb{R}^2.$ Assuming appropriate conditions in order to have bounded solutions for all times, we discretize the spatial variable with the standard linear finite element method and the temporal variable with implicit Euler and the implicit midpoint rule. We prove that the resulting semi-discrete and fully-discrete scheme via backward Euler can take negative values, therefore our aim is to seek conditions on existing or appropriate modifications of finite element based discretization methods that preserve positivity of the system solution. We recall the results conserving the positivity and the mass conservation of the stabilized schemes which are introduced in R. Strehl et all. (2010). Under suitable smoothness assumptions on the solution, we prove the existence and the uniqueness of the solution of these stabilized schemes and its solution remains positive under a suitable choice of mesh size and time step. Moreover, we prove results concerning the mass conservation and we prove error estimates in $L_2$ and $H^1-$norm in space and $L_\infty$ in time. Numerical experiments for various test problems are performed in order to studythe asymptotic behavior of the error in the $L_2$ and $H^1-$norm in space and $L_\infty$ in time. Besides the a priori analysis on the stabilized schemes of R. Strehl et all. (2010), we derive residual-based a posteriori error estimates for the fully discrete schemes of implicit Euler and implicit midpoint rule. Since we have a parabolic system of partial differential equations, the analysis includes the appropriate introduction of an elliptic reconstruction operator, similar to C. Makridakis and R. H. Nochetto (2003). The space discretization uses the standard linear finite element spaces and the time discretization is based on the implicit Euler and in implicit midpoint rule. We also derive a posteriori error estimates in $L_{\infty}(L_2)$ and $L_2(H^1)-$norm. Numerical experiments for various test problems are performed in order to study the asymptotic behavior of the a posteriori error estimators.

Θεωρούμε το μοντέλο χημειοταξίας Keller-Segel σε ένα φραγμένο χωρίο $\Omega\subset\mathbb{R}^2.$ Υποθέτοντας κατάλληλες συνθήκες για να έχουμε φραγμένες λύσεις για όλους τους χρόνους, διακριτοποιούμε τη χωρική μεταβλητή με την γραμμική μέθοδο των πεπερασμένων στοιχείων ενώ η χρονική μεταβλητή διακριτοποιείται με την έμμεση μέθοδο του Euler και τον έμμεσο κανόνα του μέσου. Αποδεικνύουμε ότι το ημι-διακριτό και πλήρως διακριτό σχήμα με την έμμεση μέθοδο του Euler μπορεί να λάβει αρνητικές τιμές, επομένως στόχος μας είναι να αναζητήσουμε συνθήκες για τις υπάρχουσες μεθόδους ή κατάλληλες τροποποιήσεις μεθόδων διακριτοποίησης με βάση πεπερασμένα στοιχεία που διατηρούν τη θετικότητα της λύσης του συστήματος. Για αυτόν το λόγο, θεωρούμε τα ευσταθή αριθμητικά σχήματα που διατηρούν την θετικότητα αλλά και την μάζα τα οποία εισάγονται στο R. Strehl et all. (2010). Κάτω από κατάλληλες υποθέσεις ομαλότητας για την ακριβή λύση, αποδεικνύουμε την ύπαρξη και τη μοναδικότητα της λύσης αυτών των ευσταθών αριθμητικών σχημάτων σχημάτων. Επίσης, αποδεικνύουμε ότι η λύση αυτών των ευσταθών σχημάτων παραμένει θετική κάτω από μια κατάλληλη επιλογή του χωρικού και του χρονικού βήματος. Επιπλέον, αποδεικνύουμε αποτελέσματα σχετικά με τη διατήρηση της μάζας και αποδεικνύουμε εκτιμήσεις σφαλμάτων στην $L_2$ και $H^1-$νόρμα στον χώρο και $L_\infty$ στο χρόνο. Πραγματοποιήθηκαν αριθμητικά αποτελέσματα σε διάφορα προβλήματα δοκιμής προκειμένου να μελετηθεί η ασυμπτωτική συμπεριφορά του σφάλματος στην $L_2$ και $H^1-$νόρμα στον χώρο και $L_\infty$ στο χρόνο. Εκτός από την εκ των προτέρων ανάλυση των ευσταθών σχημάτων που εισάγονται στο R. Strehl et all. (2010), κατασκευάζουμε εκ των υστέρων εκτιμήσεις σφάλματος χρησιμοποιώντας εκτιμητές υπολοίπων για τα πλήρως διακριτά σχήματα με την έμμεση μέθοδο του Euler και του έμμεσου κανόνα του μέσου. Εφόσον έχουμε ένα παραβολικό σύστημα μερικών διαφορικών εξισώσεων, η ανάλυση περιλαμβάνει την κατάλληλη εισαγωγή ενός ελλειπτικού τελεστή ανακατασκευής, παρόμοιου με αυτόν των C. Makridakis και R. H. Nochetto (2003). Η διακριτοποίηση χώρου χρησιμοποιεί τους τυπικούς γραμμικούς χώρους πεπερασμένων στοιχείων και η χρονική διακριτοποίηση βασίζεται στον έμμεση Euler και τον έμμεσο κανόνα του μέσου. Επίσης, κατασκευάζουμε εκ των υστέρων εκτιμήσεις σφάλματος στην $L_{\infty}(L_2)$ και στην $L_2(H^1)-$νόρμα. Πραγματοποιήθηκαν αριθμητικά αποτελέσματα σε διάφορα προβλήματα δοκιμής προκειμένου να μελετηθεί η ασυμπτωτική συμπεριφορά των εκ των υστέρων εκτιμητών σφάλματος.