Four point functions in momentum space and topological terms in gravity

Abstract

Ιn the first part, we concentrate on CFTs in coordinate space. We lay the foundations of Conformal Field Theory and we also demonstrate a method where by using the embedding formalism we can derive up to n-point scalar conformal correlators. We proceed with our analysis in momentum space and we illustrate the theory of the conformal anomalies. We move on to analyse the renormalization of the correlators through counterterms followed by a discussion of the anomaly action. In the second part of the thesis. we derive and analyze the conformal Ward identities (CWIs) of a tensorial 4-point function of a generic CFT in momentum space. The correlator involves the stress-energy tensor T and three scalar operators O (<TOOO>).We derive the structure of the corresponding CWIs in two different sets of variables, relevant for the analysis of the 1-to-3 (1 graviton → 3 scalars) and 2-to-2 (graviton + scalar → two scalars) scattering processes. Then, we move on to another conformal correlator, the one made of four stress-energy tensors. We elaborate on the structure of the conformal anomaly effective action up to 4-th order, in an expansion in the gravitational fluctuations (h) of the background metric, in the flat spacetime limit. We discuss the renormalization of 4-point functions containing insertions of stress-energy tensors (4T), in conformal field theories in four spacetime dimensions. Finally, we include an analysis on the topological terms that are involved in the renormalization and consequently corrections of gravitational theories.

Στο πρώτο μέρος της διατριβής επικεντρωνόμαστε στις Σύμμορφες Θεωρίες Πεδίου (CFTs) στο χώρο των θέσεων. Αφού θέσουμε τα θεμέλια των Σύμμορφων Θεωριών Πεδίου, αναδεικνύουμε μια μέθοδο που, με χρήση του embedding space φορμαλισμού, μπορούμε να παράγουμε τις βαθμωτές συναρτήσεις συσχετισμού n-σημείων. Στη συνέχεια της ανάλυσής μας, συζητάμε σύμμορφες ανωμαλίες στο χώρο των ορμών και την επανακανονικοποίηση των συναρτήσεων συσχετισμών με χρήση αντισταθμιστικών όρων ώστε να καταλήξουμε στη θεωρία της ανώμαλης δράσης. Στο δεύτερο μέρος, εξάγουμε και αναλύουμε τις σύμμορφες ταυτότητες του Ward (Conformal Ward Identities - CWIs) συναρτήσεων 4 σημείων με τανυστές τάσης.Οι συναρτήσεις αυτές περιλαμβάνουν τον τανυστή τάσης ενέργειας Τ και 3 βαθμωτούς τελεστές Ο ( TOOO ). Εξάγουμε τη δομή των CWIs σε δύο διαφορετικές διατάξεις των μεταβλητών, που σχετίζονται είτε με τις διαδικασίες σκέδασης, 1 σε 3 (1 γκραβιτόνιο → 3 βαθμωτά πεδία) είτε με τη διαδικασία 2 σε 2 (γκραβιτόνιο + βαθμωτό → 2 βαθμωτά). Συνεχίζουμε την ανάλυσή μας με βάση μια διαφορετική συνάρτηση συσχετισμού, εκείνη με 4 τανυστές τάσης. Μελετάμε τη δομή της σύμμορφης "ενεργής" και ανώμαλης δράσης μέχρι την 4η τάξη σε μια επέκταση με βάση τις βαρυτικές διακυμάνσεις (h) της μετρικής υποβάθρου στο όριο του επίπεδου χωροχρόνου. Σχολιάζουμε την επανακανονικοποίηση των συναρτήσεων 4 σημείων με τανυστές τάσης (4Τ) στις Σύμμορφες Θεωρίες Πεδίου σε τέσσερις διαστάσεις. Καταλήγουμε με μια ανάλυση των τοπολογικών όρων που εμπλέκονται στην επανακανονικοποίηση και συνεπώς στις διορθώσεις βαρυτικών θεωριών.