Μελέτη μιγαδικών πολυωνύμων και ορθογώνιων πολυωνύμων δύο μεταβλητών

Abstract

In this doctoral dissertation, we generalize a functional-analytic method which has been used for the study of the zeros of orthogonal polynomials in one variable satisfying a three-term recurrence relation with complex coefficients and we prove some results for their zeros.This functional-analytic method is further generalized for the study of polynomials in two variables {Pi,j(x, y)}N,M i=0, j=0of degree i−1 and j −1 with respect to x and y respectively, which satisfy the recurrence relation:αi,j Pi+1,j (x, y) + αi−1,j Pi−1,j (x, y) + βi,j Pi,j (x, y) + δi,j Pi,j+1(x, y)+δi,j−1Pi,j−1(x, y) + γi,jPi,j(x, y) = (ax + by)Pi,j(x, y), (1)for i = 1, . . . , N , j = 1, . . . , M withP0,j(x, y) ≡ 0, Pi,0(x, y) ≡ 0, P1,j(x, y) = Qj(y),(2)where Qj(y) known polynomials of y of degree j − 1 with Q1(y) ≡ 1 and Q0(y) ≡ 0.For our study we assume αi,j > 0, δi,j > 0, βi,j, γi,j real sequences and a, b ∈ R+. If we consider the special cases(C1): αi,j ≡ αi, βi,j ≡ βi, γi,j ≡ 0, δi,j ≡ 0, a = 1, b = 0, Pi,j(x, y) = Pi(x),P0(x) ≡ 0, P1(x) ≡ 1 or(C2): αi,j ≡ 0, βi,j ≡ 0, γi,j ≡ γj, δi,j ≡ δj, a = 0, b = 1, Pi,j(x, y) = Pj(y),P0(y) ≡ 0, P1(y) ≡ 1,the recurrence relation (1)-(2) reduces to the well-known recurrence relation for the classical orthogonal polynomials in one variable:αiPi+1(x) + αi−1Pi−1(x) + βiPi(x) = xPi(x) P0(x) ≡ 0, P1(x) ≡ 1. (3) By making the conventions (C1) or (C2) all the results for the polynomials in two variables are reduced to the corresponding well-known results of the classical polynomials. The main results obtained with this method are related to the zeros of polynomials that satisfy (1)-(2). The same results are proven by using block matrices. The method we use may not yield numerical results for the bounds of the zeros of the polynomials with very high accuracy, however it is much easier to use compared to other methods, since the problem of finding the zeros of polynomials becomes a problem of finding the eigenvalues of a tridiagonal self-adjoint operator whose properties are known. Additionally, this method doesn’t require the polynomials to be an orthogonal sequence.Subsequently, we follow a more classical approach: We define the orthogonality for polynomials in two variables and by using this definition we prove that the orthogonal polynomials in two variables satisfy the five-term recurrence relation (1) and vice versa. Namely if they satisfy (1) they constitute a family of orthogonal polynomials.Finally, by using classical analysis methods we study some basic properties of orthogonal polynomials in two variables. More specifically, a way is presented for constructing generating functions of orthogonal polynomial in two variables through the recurrence relation (1) that they satisfy. In addition, some formulae similar to the Rodrigues and Darboux-Christoffel are proven.

Σε αυτήν τη διδακτορική διατριβή γενικεύουμε μια αναλυτική συναρτησιακή μέθοδο που είχε χρησιμοποιηθεί για τη μελέτη των ριζών ορθογωνίων πολυωνύμων μιας μεταβλητής που ικανοποιούν μια αναδρομική σχέση τριών όρων με μιγαδικούς συντελεστές και αποδεικνύουμε κάποια αποτελέσματα για τις ρίζες των πολυωνύμων αυτών.Η αναλυτική συναρτησιακή μέθοδος αυτή, γενικεύεται ακόμα περισσότερο για τη μελέτη πολυωνύμων δύο μεταβλητών {Pi,j(x, y)}Ν,Μi=0,j=0 βαθμού i-1 και j-1 ως προς x και y αντίστοιχα, που ικανοποιούν την αναδρομική σχέση: αi,j Pi+1,j (x, y) + αi−1,j Pi−1,j (x, y) + βi,j Pi,j (x, y) + δi,j Pi,j+1(x, y)+δi,j−1Pi,j−1(x, y) + γi,jPi,j(x, y) = (ax + by)Pi,j(x, y) (1)για i = 1, . . . , N , j = 1, . . . , M μεP0,j(x, y) ≡ 0, Pi,0(x, y) ≡ 0, P1,j(x, y)=Qj(y) (2) όπου Qj(y) γνωστά πολυώνυμα του y βαθμού j-1 με Q1(y) ≡ 1 και Q0(y) ≡ 0.Για τη μελέτη μας υποθέτουμε ότι αi,j > 0, δi,j > 0, βi,j, γi,j πραγματικές ακολουθίες και a, b ∈ R+. Αν θεωρήσουμε τις ειδικές περιπτώσεις(Υ1): αi,j ≡ αi, βi,j ≡ βi, γi,j ≡ 0, δi,j ≡ 0, a = 1, b = 0, Pi,j(x, y) = Pi(x),P0(x) ≡ 0, P1(x) ≡ 1 (Υ2): αi,j ≡ 0, βi,j ≡ 0, γi,j ≡ γj, δi,j ≡ δj, a = 0, b = 1, Pi,j(x, y) = Pj(y),P0(y) ≡ 0, P1(y) ≡ 1,η αναδρομική σχέση (1)-(2) συμπίπτει με τη γνωστή αναδρομική σχέση των κλασικών ορθογωνίων πολυωνύμων μιας μεταβλητής:αiPi+1(x) + αi−1Pi−1(x) + βiPi(x) = xPi(x) P0(x) ≡ 0, P1(x) ≡ 1. (3)Χρησιμοποιώντας τις υποθέσεις (Υ1) ή (Υ2) όλα τα αποτελέσματα για τα πολυώνυμα δύο μεταβλητών μπορούν να αναχθούν σε γνωστά αποτελέσματα των αντίστοιχων πολυωνύμων μιας μεταβλητής.Τα κύρια αποτελέσματα που λαμβάνουμε με αυτήν τη μέθοδο, σχετίζονται με τις ρίζες των πολυωνύμων που ικανοποιούν τις (1)-(2). Τα ίδια αποτελέσματα αποδεικνύουμε ότι προκύπτουν χρησιμοποιώντας σύνθετους πίνακες (block matrices).Η μέθοδος που χρησιμοποιούμε μπορεί να μην αποδίδει αριθμητικά αποτελέσματα για φράγματα των ριζών των πολυωνύμων με πολύ μεγάλη ακρίβεια ακόμα, ωστόσο είναι πολύ εύχρηστη συγκριτικά με άλλες μεθόδους, καθώς το πρόβλημα εύρεσης των ριζών μετατρέπεται σε πρόβλημα εύρεσης ιδιοτιμών ενός τριδιαγώνιου αυτοσυζυγούς τελεστή του οποίου οι ιδιότητες είναι γνωστές. Επιπλέον, η μέθοδος αυτή δεν απαιτεί τα εξεταζόμενα πολυώνυμα να αποτελούν ακολουθία ορθογωνίων πολυωνύμων.Στη συνέχεια ακολουθούμε μια πιο κλασική προσέγγιση:Ορίζουμε την ορθογωνιότητα για πολυώνυμα δύο μεταβλητών και χρησιμοποιώντας αυτόν τον ορισμό αποδεικνύουμε ότι τα ορθογώνια πολυώνυμα δύο μεταβλητών ικανοποιούν την αναδρομική σχέση πέντε όρων (1) και αντιστρόφως, ότι αν ικανοποιούν την (1) , τότε αυτά αποτελούν μια οικογένεια ορθογωνίων πολυωνύμων.Τέλος, με μεθόδους κλασικής ανάλυσης μελετάμε μερικές βασικές ιδιότητες των ορθογωνίων πολυωνύμων δύο μεταβλητών. Πιο συγκεκριμένα, παρουσιάζεται ένας τρόπος κατασκευής γεννητριών συναρτήσεων ορθογωνίων πολυωνύμων δύο μεταβλητών μέσω της αναδρομικής σχέσης (1) που ικανοποιούν. Επιπλέον, αποδεικνύονται τύποι αντίστοιχοι του τύπου του Rodrigues και του τύπου Darboux-Christoffel.