Προβλήματα ροής Stokes με εφαρμογές στην αιμοδυναμική

Abstract

Aiming in the better understanding of the micro-reological behaviour of the human blood, a detailed mathematical analysis of two Stokes flow problems concerning the relative movement of a rigid inverted prolate spheroid and a viscous fluid is presented. In the first problem we study blood plasma flow past a red blood cell (RBC) and we modeled it as a creeping flow past an inverted prolate spheroid. Furthermore we imposed no slip condition, impenetrability of the RBC and that the fluid extends to infinity. We expressed the problem in the modified inverted prolate coordinate system and we used Kelvin’s inversion to translate the problem in an equivalent one, expressing the flow in a prolate spheroid. Using the concept of semiseparation in spheroidal coordinates, orthogonality arguments and the reduction of our solution to the one in the spherical coordinates, we derived the stream function in the interior of the prolate spheroid. Using Kelvin’s transformation we have the stream function that expresses the flow past the RBC. The procedure leads to a series solution in terms of Gegenbauer functions. By employing this solution the translation of a rigid inverted prolate spheroid through the blood plasma is also obtained, using the stream function that represents the unperturbed flow at infinity. These two models/problems also provide a new insight in the theoretical investigation of the flow behaviour of RBCs as we obtain analytical solutions while, as far to our knowledge, only numerical studies are available in the literature. The obtained analytical solutions can be used for assessing and verifying numerical methods and results. Furthermore these models can be applied to medical tests like the Erythrocyte Sedimentation Rate (ESR) and also in the modelling transport processes concerning the RBCs and the blood. Furthermore, by introducing for the first time here, the concept of R-semiseparation of variables, the eigenfunctions and the generalized eigenfunctions of the Stokes operator 2 E are derived, in the inverse modified prolate spheroidal system of coordinates. We proved that equation 2 E' ψ = 0 in the modified inverted prolate spheroid R-separates variables and we derived the eigenfunctions (i) Θ'n for i = 1, 2, 3, 4 and n ∈ N of the Stokes operator. We also proved that equation 4 E' ψ = 0 in the modified inverted prolate spheroid R-semiseparates variables and we presented a method to derive all the generalized eigenfunctions (i) n ' for i = 1, 2, 3, 4 and n ≥4 of the Stokes operator, since a closed formula can not be obtained.

Στοχεύοντας στην καλύτερη κατανόηση της μικρορεολογικής συμπεριφοράς του ανθρώπινου αίματος, παρουσιάζεται μια λεπτομερής μαθηματική ανάλυση δύο προβλημάτων έρπουσας ροής για τη σχετική κίνηση ενός συμπαγούς αντίστροφου επιμήκους σφαιροειδούς σε ιξώδες ρευστό. Στο πρώτο πρόβλημα μελετήθηκε η ροή του πλάσματος του αίματος γύρω από το ερυθρό αιμοσφαίριο, η οποία μοντελοποιήθηκε σαν ροή Stokes γύρω από ένα αντίστροφο επίμηκες σφαιροειδές. Επιπλέον, υποτέθηκε συνθήκη μη ολίσθησης, αδιαπερατότητα του ερυθρού αιμοσφαιρίου και ότι το ρευστό εκτείνεται μέχρι το άπειρο. Εκφράστηκε το πρόβλημα στο τροποποιημένο αντίστροφο επίμηκες σφαιροειδές σύστημα συντεταγμένων και χρησιμοποιήθηκε η αντιστροφή Kelvin για να μετασχηματιστεί το πρόβλημα σε ένα ισοδύναμό του, που εκφράζει τη ροή στο εσωτερικό ενός επιμήκους σφαιροειδούς. Η μέθοδος του ημιχωρισμού των μεταβλητών, συνθήκες ορθογωνιότητας και αναγωγή της λύσης μας στην αντίστοιχη του σφαιρικού συστήματος συντεταγμένων ήταν τα εργαλεία που χρησιμοποιήθηκαν για να βρεθεί η συνάρτηση ροής στο εσωτερικό του επιμήκους σφαιροειδούς. Η αντιστροφή του θεμελιώδους χωρίου με τη χρήση του μετασχηματισμού Kelvin δίνει τη ζητούμενη συνάρτηση ροής που εκφράζει τη ροή γύρω από το ερυθρό αιμοσφαίριο. Η ζητούμενη συνάρτηση ροής εκφράζεται με τη βοήθεια μιας σειράς με όρους συναρτήσεις Gegenbauer. Εμπλέκοντας τη λύση αυτή, υπολογίστηκε η συνάρτηση ροής που εκφράζει τη μεταφορά του ερυθρού αιμοσφαιρίου μέσα στο πλάσμα, αφαιρώντας το κομμάτι της λύσης που εκφράζει τη ροή στο άπειρο. Επίσης, αυτά τα δύο μοντέλα/προβλήματα δίνουν μια νέα οπτική στη θεωρητική διερεύνηση της ροϊκής συμπεριφοράς των ερυθροκυττάρων, αφού βρέθηκαν αναλυτικές λύσεις, όταν (και στο επίπεδο που γνωρίζουμε) μόνο αριθμητικές μελέτες υπάρχουν στη βιβλιογραφία. Οι αναλυτικές λύσεις μπορούν να χρησιμοποιηθούν για την επιβεβαίωση των αριθμητικών μεθόδων και των αποτελεσμάτων που υπάρχουν. Επιπλέον, αυτά τα μοντέλα μπορούν να εφαρμοστούν σε ιατρικά τεστ, όπως είναι η καθίζηση των ερυθρών αιμοσφαιρίων, αλλά και για τη μοντελοποίηση διαδικασιών που αφορούν φαινόμενα μεταφοράς στο αίμα που εμπλέκουν το ερυθρό αιμοσφαίριο. Τέλος, παρουσιάστηκε εδώ για πρώτη φορά η ιδέα του R-ημιχωρισμού των μεταβλητών, οι ιδιοσυναρτήσεις και οι γενικευμένες ιδιοσυναρτήσεις του τελεστή Stokes στο τροποποιημένο αντίστροφο επίμηκες σφαιροειδές σύστημα συντεταγμένων. Αποδείχθηκε ότι η εξίσωση 2 E' ψ = 0 στο τροποποιημένο αντίστροφο επίμηκες σφαιροειδές σύστημα συντεταγμένων R-χωρίζει μεταβλητές και υπολογίστηκαν οι ιδιοσυναρτήσεις (i) Θ'n για i = 1, 2, 3, 4 και n ∈ N του τελεστή Stokes. Επίσης, αποδείχθηκε ότι η εξίσωση 4 E' ψ = 0 στο τροποποιημένο επίμηκες σφαιροειδές σύστημα συντεταγμένων R-ημιχωρίζει μεταβλητές και παρουσιάσθηκε μια μέθοδος για την εύρεση των γενικευμένων ιδιοσυναρτήσεων (i) 'n για i = 1, 2, 3, 4 και n ≥4 του τελεστή Stokes, αφού μια κλειστή μορφή τους δεν μπορεί να βρεθεί.