Καθολικές σειρές Taylor σε διπλά συνεκτικούς τόπους, καθολικές συναρτήσεις και υπερκυκλικότητα

Abstract

The aim of the present thesis was the study of universal Taylor series on doubly connected domains, universal functions and the study of the phenomenon of hypercyclicity. Firstly, we dealt with the question of the approximation of every probability density function in the real line by a convex combination of normal distributions. More precisely, we proved that there exists a sequence defined on a specific space such that every continuous probability density function with compact support in the real line can be approximated in uniform and other norms by convex combination of normal distributions with weights defined by the previous sequence. Moreover we proved that the set of these sequences is a Gδ and dense set in the proper space of such sequences and contains a dense positive cone. Furthermore, we studied universal harmonic functions on the hyperbolic space. In particular, the expansion of the Poisson kernel on the ball of the hyperbolic space allows us to express the harmonic functions as series, to define the notion of universality and to prove that the class of these functions is a Gδ and dense set in the space of hyperbolic harmonic functions and contains a dense vector subspace except 0. Next, we studied smooth universal Taylor series on doubly connected domains. More precisely, we proved the existence of universal Taylor series, where it is possible on a part of the boundary to have the approximation property and on the rest to obtain continuous extensions of the function and all its derivatives. We treated the same problem for universal Taylor series in respect to every possible center and we studied the possible behavior of these functions at infinity. Finally, we studied the phenomenon of hypercyclicity and in particular we proved a Bourdon-Feldman type theorem, in the setting of frequent Cesaro hypercyclicity. Our argument was based on a known result of Costakis- Manoussos and concerned the notions of J-sets and local hypercyclicity

Σκοπός της διατριβής ήταν η μελέτη των καθολικών σειρών Taylor σε διπλά συνεκτικούς τόπους, των καθολικών συναρτήσεων, καθώς και η μελέτη του φαινομένου της υπερκυκλικότητας. Αρχικά, ασχοληθήκαμε με την προσέγγιση συναρτήσεων πυκνότητας πιθανότητας επί του πραγματικού άξονα από κυρτούς συνδυασμούς κανονικών κατανομών. Συγκεκριμένα, αποδείξαμε ότι υπάρχει ακολουθία ορισμένη σε κατάλληλο χώρο τέτοια ώστε κάθε συνεχής συνάρτηση πυκνότητας πιθανότητας , με συμπαγή φορέα στον πραγματικό άξονα να μπορεί να προσεγγιστεί σε κατάλληλες νόρμες από τους κυρτούς συνδυασμούς των κανονικών κατανομών με βάρη οριζόμενα από την προηγούμενη ακολουθία. Επιπλέον αποδείξαμε ότι το σύνολο αυτών των ακολουθιών είναι Gδ και πυκνό στον κατάλληλο χώρο των ακολουθιών που επιλέξαμε και περιέχει έναν πυκνό θετικό κώνο. Στη συνέχεια μελετήσαμε καθολικές αρμονικές συναρτήσεις στη μπάλα του υπερβολικού χώρου. Πιο συγκεκριμένα, το ανάπτυγμα του πυρήνα Poisson της μπάλας του υπερβολικού χώρου μας επέτρεψε να αναπτύξουμε σε σειρά τις αρμονικές συναρτήσεις της μπάλας, να ορίσουμε την έννοια της καθολικότητας και να αποδείξουμε ότι η κλάση αυτών των συναρτήσεων είναι ένα Gδ και πυκνό σύνολο στο χώρο των υπερβολικών αρμονικών συναρτήσεων και περιέχει ένα πυκνό διανυσματικό υπόχωρο εκτός από το 0. Έπειτα, εξετάσαμε τις λείες καθολικές σειρές Taylor σε διπλά συνεκτικούς τόπους, δηλαδή την περίπτωση όπου η καθολική συνάρτηση και όλες οι παράγωγοί της επεκτείνονται συνεχώς σε κάποια γνήσια υποσύνολα του συνόλου της φραγμένης συνιστώσας, ενώ στο υπόλοιπο σύνολο πετυχαίνουν προσεγγίσεις. Αποδείξαμε την ύπαρξη τέτοιων καθολικών σειρών Taylor αρχικά ως προς ένα σταθερό κέντρο και έπειτα ως προς κάθε δυνατό κέντρο. Ανάλογα αποτελέσματα λήφθηκαν επίσης και για συναρτήσεις που μηδενίζονται στο άπειρο. Τέλος, μελετήσαμε το φαινόμενο της υπερκυκλικότητας και συγκεκριμένα αποδείξαμε ένα θεώρημα τύπου Bourdon - Feldman στο πλαίσιο της συχνά υπερκυκλικότητας κατά Cesaro. Ο ισχυρισμός μας βασίστηκε σε ένα αποτέλεσμα των Κωστάκη - Μανούσο σχετικά με τις έννοιες των J-συνόλων και την τοπική υπερκυκλικότητα.