Συναρτησιακή προσέγγιση βασικών μαθηματικών εννοιών στο γυμνάσιο

Abstract

The aim of this study is twofold: First to describe an introductory course to algebra for 13-year old students which was designed in order to enhance their problem solving abilities and which partly was based on the functional approach. This course was implemented and tested in the real conditions of the classroom. Second to present the impact of this course concentrating on one student, considering him as a representative of a students’ sample and widening the conclusions, to some extent, for the majority of the students. The evidence showed that the students were able to use the graphic, table and letter-symbolic representations not only to solve all the problems in an introductory algebra level but also to form the associate equations and find their solution from their graphic representations. We also have evidence that the possibility of the extension of our approach to the solution of abstract equation demands a process of abstraction. For this reason we propose that this extension must be postponed for a later time

Η διατριβή έχει ως αντικείμενό της τη διδασκαλία και τη μάθηση βασικών μαθηματικών εννοιών στο Γυμνάσιο μέσω μιας συναρτησιακής προσέγγισης σε ένα πλαίσιο επίλυσης προβλήματος. Ο γενικός σκοπός αυτής της μελέτης είναι ο σχεδιασμός, η υλοποίηση και η αξιολόγηση μιας διδακτικής πρότασης για τις αρχικές έννοιες της σχολικής άλγεβρας, όπως η συνάρτηση, η εξίσωση και η ανίσωση, με βάση τις πολλαπλές αναπαραστάσεις της συνάρτησης. Ο σχεδιασμός έγινε με βάση ένα συγκεκριμένο θεωρητικό πλαίσιο στο οποίο ελήφθησαν υπόψη και τα σχετικά αποτελέσματα της διεθνούς έρευνας. Η αξιολόγηση της διδακτικής πρότασης έγινε κυρίως με ένα ποιοτικό τρόπο μέσω ατομικών συνεντεύξεων με επιλεγμένους μαθητές από την τάξη, στην οποία πραγματοποιήθηκε η διδακτική παρέμβαση. Από τα στοιχεία της αξιολόγησης διαπιστώθηκε ότι οι μαθητές σημείωσαν σημαντική βελτίωση ως προς την κατανόηση και το χειρισμό της αλγεβρικής παράστασης και οι περισσότεροι από αυτούς κατάφεραν να επιτύχουν μια ισχυρή εννοιολογική σύνδεση μεταξύ αλγεβρικής παράστασης και συνάρτησης μέσω των πολλαπλών αναπαραστάσεων σε ένα πλαίσιο επίλυσης προβλήματος. Ως προς την επίλυση προβλημάτων στα οποία υπόκειται μια εξίσωση ή μια ανίσωση τα στοιχεία έδειξαν ότι οι μαθητές ήταν ικανοί να χρησιμοποιούν γραφικές, αριθμητικές και συμβολικές αναπαραστάσεις συναρτήσεων για να τα επιλύσουν και να επαληθεύσουν τα αποτελέσματά τους, δείχνοντας μεγαλύτερη προτίμηση στις γραφικές αναπαραστάσεις. Ο τρόπος μετάβασης από την έννοια της εξίσωσης στην έννοια της ανίσωσης και ο προσδιορισμός των χαρακτηριστικών διαφοροποίησης των δύο εννοιών ήταν ιδιαίτερα επιτυχής για πολλούς μαθητές και είχε ιδιαίτερο ενδιαφέρον, προερχόμενος κυρίως μέσω της επίλυσης πραγματικών προβλημάτων σε ένα συναρτησιακό πλαίσιο. Στο αλγεβρικό - συμβολικό επίπεδο ανεδείχθησαν σε μερικούς μαθητές δυσκολίες που αφορούσαν είτε την κατασκευή της εξίσωσης ή της ανίσωσης, είτε την αλγεβρική επίλυσή τους και οφείλονταν κυρίως στην δυσκολία κατανόησης της δομής και των ιδιοτήτων του αριθμητικού συστήματος. Από τα στοιχεία φάνηκε επίσης ότι η προφανής ομοιότητα στην αλγεβρική επίλυση εξίσωσης και ανίσωσης δημιουργεί πολλές παρανοήσεις στην κατανόηση της έννοιας της ανίσωσης. Όσον αφορά την επέκταση της συναρτησιακής προσέγγισης για τη επίλυση μιας εξίσωσης ή ανίσωσης σε ένα καθαρά μαθηματικό πλαίσιο, όπου απαιτείται ένα υψηλότερο επίπεδο αφαίρεσης, τα στοιχεία της έρευνας έδειξαν ότι αυτό είναι εφικτό για κάποιους μαθητές αυτής της τάξης, αλλά όχι για το σύνολο των μαθητών.